题目

题型：北京期末题难度：来源：

一开口向上的抛物线与x轴交于A，B两点，C（m，-2）为抛物线顶点，且AC⊥BC。
（1）若m是常数，求抛物线的解析式；
（2）设抛物线交y轴正半轴于D点，抛物线的对称轴交x轴于E点。问是否存在实数m，使得△EOD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。

答案

24、解：（1）设抛物线的解析式为：
 
∵AC⊥BC，
由抛物线的对称性可知：△ACB为等腰直角三角形，又AB=4，
∴B（m+2，0）
代入，得a=。
∴解析式为：。
（2）由（1）得
设存在实数m，使得△EOD为等腰三角形。
∵△EOD为直角三角形，∴只能OD=OE。
∴当点E在x轴正半轴，即m＞0时，
解得m=或m=（舍）。
当点E在x轴负半轴，即m＜0时，
解得m=或m=（舍）；
当点E在原点，即m=0时， B、O、D三点共线（不合题意，舍）
综上所述：存在实数m=或m=，使得△EOD为等腰三角形。