题目

题型：北京模拟题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（0，2），点D在x轴的正半轴上，∠ODB=30°，OE为△BOD的中线，过B、E两点的抛物线y=ax²+x+c与x轴相交于A、F两点（A在F的左侧）。
（1）求抛物线的解析式；
（2）等边△OMN的顶点M、N在线段AE上，求AE及AM的长；
（3）点P为△ABO内的一个动点，设m=PA+PB+PO，请直接写出m的最小值，以及m取得最小值时，线段AP的长。

答案

解：（1）过E作EG⊥OD于G，
∵∠BOD=∠EGD=90°，∠D=∠D，
∴△BOD∽△EGD，
∵点B（0，2），∠ODB=30°得OB=2，
∵ E为BD中点，
∴EG/BO=DE/DB=GD/OD =1/2，
∴EC=1，，
∴
∴点E的坐标为（，1）
∵抛物线经过B（0，2）、E（，1）
∴
可得a=-1/2，
∴抛物线的解析式为，（2） ∵抛物线与x轴相交于A、F，且A在F的左侧，
∴A点的坐标为，
∴在△AGE中，∠ACE=90°，

 过点O作OK⊥AE于K，
可得△AOK∽△AEG，
∴OK/AO=EG/AE，
∴
∴
∴

 ∴△OMN是等边三角形，
∴∠NMO=60°，
∴
∴，或；（3）m可以取到的最小值为，
当m取得最小值时，线段AP的长为。