题目

题型：北京模拟题难度：来源：

如图，二次函数过A（0，m）、B（-3，0）、C（12，0），过A点作x轴的平行线交抛物线于一点D，线段OC上有一动点P，连接DP，作PE⊥DP，交y轴于点E。
（1）求AD的长；
（2）若在线段OC上存在不同的两点P₁、P₂，使相应的点E₁、E₂都与点A重合，试求m的取值范围；
（3）设抛物线的顶点为点Q，当60°≤∠BQC≤90°时，求m的变化范围。

答案

解：（1）∵B（-3，0）、C（12，0）是关于抛物线对称轴对称的两点，AD∥x轴，
∴A、D也是关于抛物线对称轴对称的两点，
∵A（0，m），∴D（9，m），∴AD=9；

（2）∵PE⊥DP，
∴要使线段OC上存在不同的两点P₁、P₂，使相应的点E₁、E₂都与点A重合，也就是使以AD为直径的圆与BC有两个交点，即圆的半径r>|m|，
∵r=，∴|m|<，
又∵m>0，∴0<m<；

（3）设抛物线的方程为：y=a（x+3）（x-12），
又∵抛物线过点A（0，m），
∴m=-36a，∴a=-m
∴y=-m（x+3）（x-12）=-m（x-）²+m
∵tan∠BQM=，QM=m
又∵60°≤∠BQC≤90°
∴由抛物线性质得30°≤∠BQM≤45°
∴当∠BQM=30°时，可求出m=，
当∠BQM=45°时，可求出m=，
∴m的取值范围为≤m≤。