题目

题型：北京模拟题难度：来源：

已知抛物线y=ax²+bx+1经过点A（1，3）和点B（2，1）。
（1）求此抛物线解析式；
（2）点C、D分别是x轴和y轴上的动点，求四边形ABCD周长的最小值；
（3）过点B作x轴的垂线，垂足为E点，点P从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达F点，再沿FE到达E点，若P点在对称轴上的运动速度是它在直线FE上运动速度的倍，试确定点F的位置，使得点P按照上述要求到达E点所用的时间最短。（要求：简述确定F点位置的方法，但不要求证明）

答案

解：（1）依题意：3=a+b+1，1=4a+2b+l，
解得：a=-2，b=4，
∴抛物线的解析式为y=-2x²+4x+1；
（2）点A（1，3）关于y轴的对称点A′的坐标是（-1，3），点B（2，1）关于x轴的对称点B′的坐标是（2，-1），由对称性可知AB+BC+CD+DA=AB+B′C+CD+DA≥AB+A′B′，
由勾股定理可求得
所以，四边形ABCD周长的最小值是AB+A"B′=5+；
（3）确定F点位置的方法：过点E作直线EG使对称轴与直线EG成45°角，则EG与对称轴的交点为所求的F点，设对称轴与x轴交于点H在Rt△HEF中，由HE=1，∠FHE=90°，∠EFH= 45°，得HF=1，
所以，点F的坐标是（1，1）。