题目

题型：北京模拟题难度：来源：

已知二次函数y=x²-mx+m-2。
（1）求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点；
（2）当该二次函数的图象经过点（3，6）时，求二次函数的解析式；
（3）将直线y=x向下平移2个单位长度后与（2）中的抛物线交于A、B两点（点A在点B的左边），一个动点P自点A出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后到达点B，求使点P运动的总 路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长。

答案

解：（1）令y=0，则x²-mx+m-2=0，
∵△=（-m）²-4（m-2）=m²-4m+8=（m-2）²+4，
又∵（m-2）²≥0，
∴（m-2）²+4>0，
即△>0，
∴无论m为任何实数，一元二次方程x²-mx+m-2=0总有两不等实根，
∴该二次函数图象与x轴都有两个交点；
（2）∵二次函数y=x²-mx+m-2的图象经过点（3，6），
∴3²-3m+m-2=6，
解得m=，
∴二次函数的解析式为；

（3）如图，将y=x的图象向下平移2个单位长度后，
其解析式为：y=x-2，
解方程组
得
 ∴直线y=x-2与抛物线y=x²-x-的交点为A（，），B（1，-1），
∴点A关于对称轴x=的对称点是A′（0，-），
点B关于x轴的对称点是B′（1，1），
设过点A′B′的直线解析式为y=kx+b，
∴解得
∴直线A′B′的解析式为y=x-
∴直线A′B′与x轴的交点为F（，0），
与直线x=的交点为E（，-），
则点E（，-）、F（，0）为所求，
过点B′作B′H ⊥AA′于点H，
∴B′H=，HA′=1，
在Rt△A′B′H中，
∴所求最短总路径的长为AE+EF+FB=A′B′=。