题目

题型：福建省模拟题难度：来源：

如图①，已知：四边形OABC中，O为直角坐标系的原点，A点坐标为（1，4），B点在x轴的正半轴上，C点坐标为（8，-4），动点P从点O出发，依次沿线段OA、AB、BC向点C移动。设P点移动的路径为Z，△POC的面积S随着Z的变化而变化的图像如图②所示（其中线段DE//x轴）。
（1）请你确定B、C两点的坐标；
（2）当动点P是经过点O、B的抛物线的顶点时，
①求此抛物线的解析式；
②在x轴上是否存在点M，使△PBM与△OBC相似？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）过C作CQ⊥x轴于Q点，
由图（2）得：当P运动到B时，
∵
即，
∴，
∴B坐标（9，0）；（2）①抛物线经过O、B点，
∴ 抛物线的对称轴为，
∴对称轴必与边AB相交,
由题意可知，抛物线的顶点在直线AB上且也在对称轴上，
设直线AB的表达式为y=kx+b，
则可得方程 
得
∴
又由方程组
解之得
∴抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为
把点O的坐标代入得，
∴抛物线的解析式为；
②设在x轴上存在点M。
使△PBM与△OBC相似，

∴ （i）当时，△PBM∽△OBC，
即，BM=5，
∴M（4，0）
∴ （ii）当时，△PBC∽△COB，
即，BM=，
∴M（，0）
所以在x轴上存在点M（4，0）和 （，0） 使△PBM∽△OBC相似。