题目

题型：浙江省中考真题难度：来源：

已知直线y=kx+3（k＜0）分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒。
（1）当k=-1时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）。
①直接写出t=1秒时C、Q两点的坐标；
②若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求t的值；
（2）当k=-时，设以C为顶点的抛物线y=（x+m）²+n与直线AB的另一交点为D（如图2）。
①求CD的长；
②设△COD的OC边上的高为h，当t为何值时，h的值最大？

答案

解：（1）①C（1，2），Q（2，0）；
②由题意得：P（t，0），C（t，-t+3），Q（3-t，0），
分两种情况讨论：
情形一：当△AQC∽△AOB时，∠AQC=∠AOB=90°，
∴CQ⊥OA，
∵CP⊥OA，
∴点P与点Q重合，OQ=OP，
即3-t=t，
∴t=1.5；
情形二：当△AQC∽△AOB时，∠ACQ=∠AOB=90°，
∵OA=OB=3，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴△ACQ也是等腰直角三角形，
∵CP⊥OA，
∴AQ=2CP，
即t=2（-t+3），
∴t=2，
∴满足条件的t的值是1.5秒或2秒； （2）①由题意得：C（t，-）
∴以C为顶点的抛物线解析式是y=，
由，
解得，
过点D作DE⊥CP于点E，
则∠DEC=∠AOB=90°，
∵DE∥OA，
∴∠EDC=∠OAB，
∴△DEC∽△AOB
∴
∵AO=4，AB=5，DE=
∴CD=；
②∵，
CD边上的高=，
∴，
∴S_△COD为定值，
要使OC边上的高h的值最大，只要OC最短，
因为当OC⊥AB时OC最短，
此时OC的长为，∠BCO=90°
∵∠AOB=90°
∴∠COP=90°-∠BOC=∠OBA
又∵CP⊥OA
∴Rt△PCO∽Rt△OAB
∴，OP=，
即t=
∴当t为秒时，h的值最大。