题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

如图，抛物线y=ax²+bx+c交x轴于点A（-3，0），点B（1，0），交y轴于点E（0，-3）。点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行。直线y=-x+m过点C，交y轴于D点。
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值；
（3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标。

答案

解：（1）∵抛物线交轴于点A（-3，0），点B（1，0），
∴设抛物线的函数表达式为，
又∵抛物线交y轴于点E（0，-3），
将（0，-3）代入上式，得a=1，
∴抛物线的函数表达式为，即；（2）∵点C是点A（-3，0）关于点B（1，0）的对称点，
∴点C坐标（5，0），
∴将点C坐标代入y=-x+m，得m=5，
∴直线CD的函数表达式为y=-x+5，
设K点的坐标为（t，0），
则H点的坐标为（t，-t+5），G点的坐标为（t，t²+2t-3），
∵点K为线段AB上一动点，
∴-3≤t≤1，
∴HG=（-t+5）-（t²+2t-3）=-t²-3t+8=-，
∵-3＜-＜1，
∴当t=-时，线段HG的长度有最大值；（3）∵点F是线段BC的重点，点B（1，0），点C（5，0），
∴点F的坐标为（3，0），
∵直线l过点F且与y轴平行，
∴直线l的函数表达式为x=3，
∵点M在直线l上，点N在抛物线上，
∴设点M的坐标为（3，m），点N的坐标为（n，n²+2n-3），
∵点A（-3，0），点C（5，0），
∴AC=8，
分情况讨论：
①若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的边，则需MN∥AC，且MN=AC=8，
当点N在点M的左侧时，MN=3-n，
∴3-n=8，解得n=-5，
∴N点的坐标为（-5，12），
当点N在点M的右侧时，MN=n-3，
∴n-3=8，解得n=11，
∴N点的坐标为（11，140），
②若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的对角线，
由点C与点A关于点B中心对称”知：点M与点N关于点B中心对称，
取点F关于点B的对称点P，则P点坐标为（-1，0），
过P点作NP⊥x轴，交抛物线于点N，
将x=-1代入y=x²+2x-3，得y=-4，
过点N，B作直线NB交直线l于点M，
在△BPN和△BFM中，∠NBP=∠MBF，BF=BP，∠BPN=∠BFM=90°，
∴△BPN≌△BFM，
∴NB=MB，
∴四边形ANCM为平行四边形，
∴坐标（-1，-4）的点N符合条件，
综上所述，当点N的坐标为（-5，12），（11，140），（-1，-4）时，以点A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形。