题目

题型：四川省中考真题难度：来源：

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=a（x+1）²+c （a>0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为M若直线MC的函数表达式为y=kx-3，与x轴的交点为N，且。
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q，若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？

答案

解：示意图如图所示，
（1）∵直线MC的函数表达式为y=kx-3，
∴点C（0，-3），
∵，
∴可设|OC|=3t（t>0），，
则由勾股定理，得|OB|=t，
而|OC|=3t=3，
∴t=1，
∴|OB|=1，
∴点B（1，0），
∵点B（1，0）、C（0，-3）在抛物线上，
∴，解得，
∴抛物线的函数表达式为y=（x+1）²-4=x²+2x-3；
（2）假设在抛物线上存在异于点C的点P，
使以N、P、C 为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形；
①若PN为另一条直角边，
∵点M（-1，-4）在直线MC上，
∴-4=-k-3，即k=1，
∴直线MC的函数表达式为y=x-3，
易得直线MC与x轴的交点N的坐标为N（3，0），
∵|OC|=|ON|，
∴∠CNO=45°，
在y轴上取点D（0，3），连接ND交抛物线于点P，
∵|ON|=|OD|，
∴∠DNO=45°，
∴∠PNC=90°，
设直线ND的函数表达式为y=mx+n，
由，解得，
∴直线ND的函数表达式为y=-x+3，
设点P（x，-x+3），代入抛物线的函数表达式，得
-x+3=x²+2x-3，即x²+3x-6=0，解得，
∴，
∴满足条件的点为；
②若PC是另一条直角边，
∵点A是抛物线与x轴的另一交点，
∴点A的坐标为（-3，0），
连接AC，
∵|OA|=|OC|，
∴∠OCA=45°，
又∠OCN=45°，
∴∠ACN=90°，
∴点A就是所求的点P₃（-3，0）；
综上可知，在抛物线上存在满足条件的点，有3个，分别为
，P₃（-3，0）；
（3）若抛物线沿其对称轴向上平移，设向上平移b（b>0）个单位，
可设函数表达式为y=x²+2x-3+b，
由，消去y，得x²+x+b=0，
∴要使抛物线与线段NQ总有交点，必须Δ=1-4b≥0，即，
∴，
∴若抛物线向上平移，最多可平移个单位长度；
②若抛物线沿其对称轴向下平移，设向下平移b（b>0）个单位，
可设函数表达式为y=x²+2x-3-b，
∵当x=-3时，y=-b；
当x=3时，y=12-b，
易求得Q（-3，-6），又N（3，0），
∴要使抛物线与线段NQ总有交点，必须-b≥-6或12-b≥0，即b≤6或b≤12，
∴0<b≤12，
∴若抛物线向下平移，最多可平移12个单位长度；
综上可知，若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则向上最多可平移个单位长度，向下最多可平移12个单位长度。