题目

题型：湖南省中考真题难度：来源：

如图，已知抛物线过点A（0，6），B（2，0），C（7，）。
（1）求抛物线的解析式；
（2）若D是抛物线的顶点，E是抛物线的对称轴与直线AC的交点，F与E关于D对称，求证：∠CFE=∠AFE；
（3）在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FDC相似，若有，请求出所有符合条件的点P的坐标；若没有，请说明理由。

答案

解：（1）设抛物线解析式为，
将A、B、C三点坐标代入，得，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）证明：设直线AC的解析式为，
将A、C两点坐标代入，得，解得，
∴直线AC的解析式为，
∵，
∴D（4，-2），E（4，4），
∵F与E关于D对称，
∴F（4，-8），
则直线AF的解析式为，CF的解析式为，
∴直线AF，CF与x轴的交点坐标分别为（，0），（，0），
∵4--4，
∴两个交点关于抛物线对称轴x=4对称，
∴∠CFE=∠AFE；
（3）存在，设P（0，d），则由点P在点A下方，得AP=6-d ，AF=，
FD=-2-（-8）=6，CF=，
当△AFP∽△FDC时，，即，解得d=；
当△AFP∽△FCD时，，即，解得d=-2，
∴P点坐标为（0，）或（0，-2）。