题目

题型：辽宁省中考真题难度：来源：

如图1，在平面直角坐标系中，拋物线y=ax²+c与x轴正半轴交于点F（16，0）、与y轴正半轴交于点E（0，16），边长为16的正方形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A与点E重合，顶点C与点F重合；

（1）求拋物线的函数表达式；
（2）如图2，若正方形ABCD在平面内运动，并且边BC所在的直线始终与x轴垂直，抛物线始终与边AB交于点P且同时与边CD交于点Q（运动时，点P不与A、B两点重合，点Q不与C、D两点重合）。
设点A的坐标为（m，n）（m>0）。
①当PO=PF时，分别求出点P和点Q的坐标；
②在①的基础上，当正方形ABCD左右平移时，请直接写出m的取值范围；
③当n=7时，是否存在m的值使点P为AB边中点。若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）由拋物线y=ax²+c经过点E（0，16）、F（16，0）得：，解得a=-，c=16，
∴y=-x²+16；
（2）①过点P做PG⊥x轴于点G，
∵PO=PF，
∴OG=FG，
∵F（16，0），
∴OF=16，
∴OG=OF=×16=8，即P点的横坐标为8，
∵P点在拋物线上，
∴y=-×8²+16=12，即P点的纵坐标为12，
∴P（8，12），
∵P点的纵坐标为12，正方形ABCD边长是16，
∴Q点的纵坐标为-4，
∵Q点在拋物线上，
∴-4=-x²+16，
∴x₁=，x₂=-，
∵m>0，
∴x₂=-（舍去），
∴x=，
∴Q（，-4）；
②-16<m<8;
③不存在；
理由：当n=7时，则P点的纵坐标为7，
∵P点在抛物线上，∴7=，
∴x₁=12，x₂=-12，
∵m>0，∴x₂=-12（舍去），
∴x=12，
∴P点坐标为（12，7），
∵P为AB中点，
∴AP=AB=8，
∴点A的坐标是（4，7），
∴m=4，
又∵正方形ABCD边长是16，
∴点B的坐标是（20，7），点C的坐标是（20，-9），
∴点Q的纵坐标为-9，
∵Q点在拋物线上，
∴-9=-x²+16，
∴x₁=20，x₂=-20，
∵m>0，
∴x₂=-20（舍去），x=20，
∴Q点坐标（20，-9），
∴点Q与点C重合，这与已知点Q不与点C重合矛盾，
∴当n=7时，不存在这样的m值使P为AB边的中点。