题目

题型：内蒙古自治区中考真题难度：来源：

如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=15，OC=9，在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作N点。
（1）求N点、M点的坐标；
（2）将抛物线y=x²-36向右平移a（0＜a＜10）个单位后，得到抛物线l，l经过N点，求抛物线l的解析式；（3）①抛物线l的对称轴上存在点P，使得P点到M，N两点的距离之差最大，求P点的坐标；
②若点D是线段OC上的一个动点（不与O、C重合），过点D作DE∥OA交CN于E，设CD的长为m，△PDE的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）∵
∴
∴
又∵
设
∴
∴
。
（2）设抛物线l为
则
∴或（舍去）
∴抛物线l：。
（3）①由“三角形任意两边的差小于第三边”知，P点是直线MN与对称轴x=6的交点
设直线MN的解析式为
则
解得
∴
∴。
②∵
∴
∴
∴
∵，开口向下，
又
∴S有最大值
∴。