题目

题型：福建省中考真题难度：来源：

如图所示，已知抛物线的图象与y轴相交于点B（0，1），点C（m，n）在该抛物线图象上，且以BC为直径的⊙M恰好经过顶点A。
（1）求k的值；
（2）求点C的坐标；
（3）若点P的纵坐标为t，且点P在该抛物线的对称轴l上运动，试探索：
①当S₁＜S＜S₂时，求t的取值范围（其中：S为△PAB的面积，S₁为△OAB的面积，S₂为四边形OACB的面积）；
②当t取何值时，点P在⊙M上。（写出t的值即可）

答案

解：（1）∵点B（0，1）在的图象上，
∴，
∴k=1；（2）由（1）知抛物线为：
∴顶点A为（2，0），
∴OA=2，OB=1，
过C（m，n）作CD⊥x轴于D，则CD=n，OD=m，
∴AD=m-2，
由已知得∠BAC=90°，
∴∠CAD+∠BAO=90°，
又∠BAO+∠OBA=90°，
∴∠OBA=∠CAD，
∴Rt△OAB∽Rt△DCA，
∴，即（或tan∠OBA= tan∠CAD，，即），
∴n=2（m-2）；
又点C（m，n）在上，
∴
∴，
即
∴m=2或m=10；
当m=2时，n=0，
当m=10时，n=16；
∴符合条件的点C的坐标为（2，0）或（10，16）；（3）①依题意得，点C（2，0）不符合条件，
∴点C为（10，16），
此时，

又点P在函数图象的对称轴x=2上，
∴P（2，t），AP=|t|
∴=|t|，
∵，
∴当t≥0时，S=t，
∴1<t<21，
∴当t<0时，S=-t，
∴-21<t<-1，
∴t的取值范围是：1<t<21或-21<t<-1，
②t=0，1，17。