题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，-1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）。
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积。

答案

解：（1）设抛物线为
∵抛物线经过点A（0，3）
∴
∴
∴抛物线为。
（2）l与⊙C相交
当时，，
∴B为（2，0），C为（6，0）
∴
设⊙C与BD相切于点E，连接，
则
∵
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
∴
∵抛物线对称轴l为
∴点C到l的距离为2
∴抛物线的对称轴l与⊙C相交。（3）如图，过点P作平行于y轴的直线AC交于点Q
可求出AC的解析式为
设点P的坐标为（m，）
设点Q的坐标为（m，）
∴
∵
∴当时，的面积最大为
此时，P点坐标为（3，）。