题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点A（3，0），B（2，-3），C（0，-3）。
（1）求此函数的解析式及图象的对称轴；
（2）点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动，设运动时间为t秒。
①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；
②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值。

答案

解：（1）∵二次函数的图象经过点C（0，-3），
∴c=-3，
将点A（3，0），B（2，-3）代入得，
解得：a=1，b=-2，
∴，
配方得：，
所以对称轴为x=1；（2）由题意可知：BP= OQ=0.1t，
∵点B，点C的纵坐标相等，
∴BC∥OA，
过点B，点P作BD⊥OA，PE⊥OA，垂足分别为D，E，
要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB，即QE=AD=1，
又QE=OE-OQ=（2-0.1t）-0.1t=2-0.2t，
∴2-0.2t=1，
解得t=5，
即t=5秒时，四边形ABPQ为等腰梯形，
②设对称轴与BC，x轴的交点分别为F，G，
∵对称轴x=1是线段BC的垂直平分线，
∴BF=CF=OG=1，
又∵BP=OQ，
∴PF=QG，
又∵∠PMF=∠QMG，
∴△MFP≌△MGQ，
∴MF=MG，
∴点M为FG的中点，
∴S==，
由
∴S=
又BC=2，OA=3，
∴点P运动到点C时停止运动，需要20秒，
∴0＜t≤20，
∴当t=20秒时，面积S有最小值3。