题目

题型：四川省中考真题难度：来源：

将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B（-3，0）。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当△APE的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与（2）中△APE的最大面积相等？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点A（0，6），
∴c=6
∵抛物线的图象又经过点（-3，0）和（6，0）
∴
解之得
故此抛物线的解析式为：。
（2）设点P的坐标为（m，0）
则PC=6-m，S_△ABC=BC·AO=×9×6=27
∵PE∥AB
∴△CEP∽△CAB
∴
即
∴S_△CEP=（6-m）²
∵S_△APC=PC·AO=（6-m）×6=3（6-m）
∴S_△APE= S_△APC-S_△CEP=3（6-m）-（6-m）²=-（m-）²+
当m=时，S_△APE有最大面积为；此时，点P的坐标为（，0）。（3）如图，过G作GH⊥BC于点H，设点G的坐标为G（a，b），连接AG、GC
∵S_梯形AOHG=a（b+6）
S_△CHG=（6-a）b
∴S_{四边形AOCG}=a（b+6）+（6- a）b=3（a+b）
∵S_△AGC= S_{四边形AOCG}-S_△AOC
∴
∵点G（a，b）在抛物线的图像上
∴
∴
化简，得4a²-24a+27=0
解之得，
故点G的坐标为（，）或（，）。