题目

题型：四川省中考真题难度：来源：

如图，抛物线y=a（x+3）（x-1）与x轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为（-2，6）。
（1）求a的值及直线AC的函数关系式；
（2）P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N。
①求线段PM长度的最大值；
②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由。

答案

解：（1）点C（-2，6）在抛物线y=a（x+3）（x-1）上得6=a（-2+3）（-2-1），
∴a=-2，
∴抛物线的函数解析式为y=-2（x+3）（x-1），
与x轴交于B（-3，0）、A（1，0），
设直线AC为y=kx+b，则有0=k+b，6=-2k+b，解得k=-2，b=2，
∴直线AC为y=-2x+2；
（2）①设P的横坐标为a（-2≤a≤1），则P（a，-2a+2），M（a，-2a²-4a+6），
∴PM=-2a²-4a+6-（-2a+2）=-2a²-2a+4=-2（m+）²+，
∴当a=-时，PM的最大值为；
②存在M₁（0，6）、M₂（）。