题目

题型：江苏中考真题难度：来源：

如图①，Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=30度．它的顶点A的坐标为（10，0），顶点B的坐标为（5，），AB=10，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D（0，2）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒。
（1）求∠BAO的度数。
（2）当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点P的运动速度。
（3）求（2）中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标。
（4）如果点P，Q保持（2）中的速度不变，那么点P沿AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点P沿这两边运动时，使∠OPQ=90°的点P有几个？请说明理由。

答案

解：（1）；
（2）点P的运动速度为2个单位/秒；
（3）（）
∵

∴当时，S有最大值为
此时。（4）当点P沿这两边运动时，的点有2个
①当点P与点A重合时，
当点P运动到与点B重合时，的长是12单位长度
作交y轴于点M，作轴于点H
由得
所以
从而
所以当点P在AB边上运动时，的点P有1个。
②同理当点P在BC边上运动时，
可算得
而构成直角时交y轴于

所以
从而的点P也有1个
所以当点P沿这两边运动时，的点有2个。