题目

题型：北京期中题难度：来源：

已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线l₁的解析式为y=-x²，将抛物线l₁平移后得到抛物线l₂，若抛物线l₂经过点（0，2），且其顶点A的横坐标为最小正整数。

（1）求抛物线l₂的解析式；
（2）说明将抛物线l₁如何平移得到抛物线l₂；
（3）若将抛物线l₂沿其对称轴继续上下平移，得到抛物线l₃，设抛物线l₂的顶点为B，直线OB与抛物线l₃的另一个交点为C，当OB=OC时，求点C的坐标。

答案

解：（1）设抛物线l₂的解析式为y=-x²+bx+c，
∵点（0，2）在抛物线l₂上，
∴y=-x²+bx+2，
∵抛物线l₂的顶点的横坐标为1，
∴b=2，
∴l₂的解析式为y=-x²+2x+2；
（2）∵y=-x²+2x+2=-（x-1）²+3，
∴将抛物线l₁：y=-x²的图象向右平移1个单位长度，
再向上平移3个单位长度，可以得到抛物线l₂；（答案不唯一）
（3）设顶点B的坐标为（1，m），则抛物线l₃的解析式为y=-（x-1）²+m，
∵OB=OC，且B、O、C三点在同一条直线上，
∴点B与点C关于原点对称，
∴点C的坐标为（-1，-m），
∵点C在抛物线l₃上，
∴-m=-（-1-1）²+m，
∴m=2，
∴点C的坐标为（-1，-2）。