题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（3，1），二次函数y=x²的图象记为抛物线l₁。

（1）平移抛物线l₁，使平移后的抛物线过点A，但不过点B，写出平移后的一个抛物线的函数表达式：______ （任写一个即可）；
（2）平移抛物线l₁，使平移后的抛物线过A，B两点，记为抛物线l₂，如图2，求抛物线l₂的函数表达式；（3）设抛物线l₂的顶点为C，K为y轴上一点，若S_△ABK=S_△ABC，求点K的坐标；
（4）请在图3上用尺规作图的方式探究抛物线l₂上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形，若存在，请判断点P共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）有多种答案，符合条件即可，
例如等；
（2）设抛物线l₂的函数表达式为，
∵点A（1，2），B（3，1）在抛物线l₂上，
∴，解得，
∴抛物线l₂的解析式为；
（3），
∴C点的坐标为，
过A，B，C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D，E，F，
则AD=2，，
∴
=，
延长BA交y轴于点G，设直线AB的函数表达式为y=mx+n，
∵点A（1，2），B（3，1）在直线AB上，
∴，解得，
∴直线AB的函数解析式为，
∴点G的坐标为，
设点K的坐标为（0，h），分两种情况：
若点K位于g点的上方，则KG=h-，
连结AK，BK，
，
∵，
∴，解得，
∴K点的坐标为，
若K点位于G点的下方，则KG=，
同理可得，h=，
∴K点的坐标为；
（4）作图痕迹如图③所示，由图③可知，点共有3个可能的位置。