题目

题型：四川省中考真题难度：来源：

如图，已知抛物线y=ax²+bx-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为，设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E。
（1）求m的值及抛物线的解析式；
（2）设∠DBC=a，∠CBE=b，求sin（a-b）的值；
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）由题意可知C（0，-3），，
∴抛物线的解析式为y=ax²-2ax-3（a＞0），过M作MN⊥y轴于N，连结CM，则MN=1，，
∴CN=2，于是m=-1．同理可求得B（3，0），
∴a×3²-2-2a×3-3=0，得a=1，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3；
（2）由（1）得A（-1，0），E（1，-4），D（0，1），
∴在Rt△BCE中，，，
∴，
∴，即，
∴Rt△BOD∽Rt△BCE，得∠CBE=∠OBD=b，
因此sin（a-b）=sin（∠DBC-∠OBD）
=sin∠OBC=；
（3）显然Rt△COA∽Rt△BCE，此时点P₁（0，0），
过A作AP₂⊥AC交y正半轴于P₂，由Rt△CAP₂∽Rt△BCE，得，过C作CP₃⊥AC交x正半轴于P₃，
由Rt△P₃CA∽Rt△BCE，得P₃（9，0），
故在坐标轴上存在三个点P₁（0，0），P₂（0，1∕3），P₃（9，0），使得以P、A、C为顶点的三角形与BCE相似。