题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

已知二次函数图象的顶点在原点O，对称轴为y轴，一次函数y=kx+1的图象与二次函数的图象交于A，B两点（A在B的左侧），且A点坐标为（-4，4），平行于x轴的直线l过（0，-1）点。

（1）求一次函数与二次函数的解析式；
（2）判断以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系，并给出证明；
（3）把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t个单位（t＞0），二次函数的图象与x轴交于M，N两点，一次函数图象交y轴于F点，当t为何值时，过F，M，N三点的圆的面积最小，最小面积是多少？

答案

解：（1）把A（-4，4）代入y=kx+1得，
∴一次函数的解析式为；
∵二次函数图象的顶点在原点，对称轴为y轴，
∴设二次函数解析式为，
把A（-4，4）代入得，
∴二次函数的解析式为；
（2）由，解得，
∴B，
过A，B点分别作直线l的垂线，垂足为，
则，
∴直角梯形的中位线长为，
过B作BH垂直于直线于点H，则，
，
∴，
∴AB的长等于AB中点到直线l的距离的2倍，
∴以AB为直径的圆与直线l相切；
（3）平移后二次函数解析式为，
令y=0，得，
∵过F，M，N三点的圆的圆心一定在直线x=2上，点F为定点，
∴要使圆面积最小，圆半径应等于点F到直线x=2的距离，
此时，半径为2，面积为4π，
设圆心为C，MN中点为E，连CE，CM，则CE=1，
在三角形CEM中，NE=，
∴，而，
∴t=3，
使用当t=3时，过F，M，N三点的圆面积最小，最小面积为4π。