题目

题型：吉林省期末题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点C为抛物线的顶点，且A、C两点的横坐标分别为1和4。
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求二次函数的函数表达式；
（3）在（2）的抛物线上，是否存在点P，使得∠BAP=45°？若存在，求出点P的坐标及此时△ABP面积；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）A点的横坐标分别为1，且A点在x轴上，点A（1，0），
又点A、B关于对称轴x=4对称，且B点在x轴上，点B（7，0）；
（2）因为二次函数图象经过点A（1，0）、B（7，0），
∴，解得：，
∴二次函数的表达式为；
（3）在抛的线上存在使得∠BAP=45°的点P，
设抛物线上的点P（x，y）使得∠BAP=45°，
①当点P在x轴上方时，有x-1=y，
∴，
即，由求根公式得：x=6或x=1（不合题意舍去）
∴，
∴点P（6，5），
此时；
②当P在x轴的下方时，有x-1=y，
∴，
即，由求根公式得x=8或x=1（不合题意舍去）
∴，
∴点P（8，-7），
此时。