题目

题型：吉林省期末题难度：来源：

如图，在直角坐标系中，是△ABC是等腰直角三角形，AB=AC=，O为斜边BC的中点，点P由点A出发沿线段AB作匀速运动，P′是P关于AO的对称点；点Q由点O出发沿射线OC方向作匀速运动，且满足四边形QOPP′是平行四边形，设平行四边形QOPP′的面积为y，OQ=x。
（1）求出y关于x的函数解析式；
（2）求当y取最大值时，过点P、A、P′的二次函数解析式；
（3）能否在（2）中所求的二次函数图象上找一点E，使EPP′的面积为20，若存在，求出E点坐标；若不存在，说明理由。

答案

解：（1）∵△ABC为等腰三角形，AB=AC=，BC=16，
∵O为斜边BC的中点，AO=BO=OC=8，
∵四边形QOPP′为平行四边形，OQ=x，
∴AF=PF=FP′=x，
∴OF=AO-AF=8-x，
则平行四边形QOPP′的面积，
即；
（2）由，
当x=8时，y取最大值，此时Q点运动到点C，P点运动到AB的中点，
则有点A（0，8）、P（-4，4）、P＇（4，4），
依题可设，过上述三点的二次函数解析式为，
代入P点坐标得；
（3）假设在（2）的图象上存在一点E，使，
设E的坐标为（x，y），则，
即，解得y=9、y=-1，
代入解析式可得E点坐标为（6，-1）、（-6，-1）。