题目

题型：广东省中考真题难度：来源：

已知：在四边形ABCD中，AB=1，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，且AE=BF=CG=DH。设四边形EFGH的面积为S，AE=x（0≤x≤1）。
（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，
①求S关于x的函数解析式，并在图2中画出函数的草图；
②当x为何值时，S=？
（2）如图3，当四边形ABCD为菱形，且∠A=30°时，四边形EFGH的面积能否等于？若能，求出相应x的值；若不能，请说明理由。

答案

解：（1）①在Rt△AEH中，AE=x，AH=1-x，
则=；
列表：


②根据题意，得，
解方程，得，
即得时，S=；
（2）四边形EFGH的面积可以等于；
 由条件，易证△AEH≌△CGF，△EBF≌△GDH，
作HM⊥AE于M，作FN⊥EB且FN交EB的延长线于N，
∵AE=x，则AH=1-x，
又在Rt△AMH中，∠HAM=30°，
∴HM=AH=（1-x），
同理得FN=BF=x，
∴，，
又∵S_ABCD=，
∴四边形EFGH的面积，
∴令，解得，
即时，四边形EFGH的面积等于。