题目

题型：河北省模拟题难度：来源：

如图1，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点D，顶点的坐标为(2，4)，Rt△ABC的顶点A与点O重合，AC、AB分别在x轴、y轴上，且AC =3，AB =4。
(1)直线BC的解析式为                。
(2)求该抛物线的解析式。
(3)如图2，将Rt△ABC以每秒1个单位长度的速度沿x轴的正方向平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向点B移动，设它们运动的时间为t秒(0≤t≤2)，AB边与该抛物线的交点为Q。  
①连接CP、CQ，设△CPQ的面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由。 
②直接写出当直线BC与抛物线有唯一的公共点时t的值。   

答案

解：(1)  y=x+4      
(2) ∵该抛物线的顶点的坐标为(2，4)，
∴设该抛物线的解析式为y=a（x-2）²+4    
又∵抛物线过原点，
∴a= -1  
∴该抛物线的解析式为y=即y=．  
(3)①存在．    
由题意，点P的坐标是(t，t)，点Q的坐标是（t， ），  
∴PQ=．      
∴S=PQ，   
∴当t=时，S存在最大值，最大值是．      
②当t=时，直线BC与抛物线有唯一的公共点．