题目
题型:期末题难度:来源:
(1)画出△ECD关于边CD所在直线为对称轴的对称图形△E1CD,并求出点E1的坐标;
(2)求经过C、E1、B三点的抛物线的函数表达式;
(3)请探求经过C、E1、B三点的抛物线上是否存在点P,使以点P、B、C为顶点的三角形与△ECD相似?若存在这样的点P,请求出点P的坐标;若不存在这样的点P,请说明理由。
答案
连接DE1、CE1,则△CE1D为所画的三角形,
∵△CED∽△OEA,,
∴,
∵EF、EE分别是△CED、△OEA的对应高,
∴=,
∴EF=EE1,
∴F是EE1的中点,
∴E点关于CD的对称点是E1点,△CE1D为△CED关于CD的对称图形,
在Rt△EOE1,OE1=cos60°×EO=×8=4,
∴E1点的坐标为(4,0);
(2)∵平行四边形OABC的高为h=sin60°×4=2,
过C作CG⊥OA于G,则OG=2,
∴C、B点的坐标分别为(2,2),(8,2),
∵抛物线过C、B两点,且CB∥x轴,C、B两点关于抛物线的对称轴对称,
∴抛物线的对称轴方程为x=5,
又∵抛物线经过E1(4,0),
则抛物线与x轴的另一个交点为A(6,0),
∴可设抛物线为y=a(x﹣4)(x﹣6),
∵点C(2,2)在抛物线上,
∴2=a(2﹣4)(2﹣6),
解得a=,
∴y=(x﹣4)(x﹣6)=x2﹣x+6;
(3)根据两个三角形相似的条件,由于在△ECD中,∠ECD=60°,
若△BCP与△ECD相似,则△BCP中必有一个角为60°,下面进行分类讨论:
①当P点直线CB的上方时,由于△PCB中,∠CBP>90°或∠BCP>90°,
∴△PCB为钝角三角形,
又∵△ECD为锐角三角形,
∴△ECD与△CPB不相似,
从而知在直线CB上方的抛物线上不存在点P使△CPB与△ECD相似;
②当P点在直线CB上时,点P与C点或B点重合,不能构成三角形,
∴在直线CB上不存在满足条件的P点;
③当P点在直线CB的下方时,若∠BCP=60°,则P点与E1点重合,此时,∠ECD=∠BCE1,
而,∴,
∴△BCE与△ECD不相似,
若∠CBP=60°,则P点与A点重合,根据抛物线的对称性,同理可证△BCA与△CED不相似,
若∠CPB=60°,假设抛物线上存在点P使△CPB与△ECD相似,
∴EF=sin60°×4=2,FD=1,
∴ED==,
设△ECD的边DE上的高为h1,则有h1×ED=EF×CD,
∴h1=EF×CD×ED=2×3÷=6×=,
设△CPB的边BC上的高为h2,△CPB与△ECD相似,
∵,
解得h2=×h1=×=,
∵抛物线的顶点坐标为(5,﹣),
∴抛物线的顶点到直线BC的距离d=|﹣|+2=,
∵h2>d,
∴所求P点到直线BC的距离大于抛物线的顶点到直线BC的距离,
从而使△CPB与△ECD相似的点P不会在抛物线上,
∴在直线CB下方不存在抛物线上的点P使△CPB与△ECD相似,
综上所述,可知在抛物线上不存在点P使点P、B、C为顶点的三角形与△ECD相似。
核心考点
试题【如图,在直角坐标系中,O为坐标原点,平行四边形OABC的边OA在x轴上,∠B=60°,OA=6,OC=4,D是BC的中点,延长AD交OC的延长线于点E。(1)画】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求△BPD的面积S与x之间的函数关系式,并求出自变量x的取值范围;
(2)点P在AC上什么位置时,△BPD的面积最大,此时线段PD长度是多少?
(2)求出图②中表示的种植成本单价z(元)与上市时间t(天)(t>0)的函数关系式;
(3)认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价,问何时上市的绿茶纯收益单价最大?(说明:市场销售单价和种植成本单价的单位:元/500克)
(1)求火球运行轨迹的抛物线对应的函数解析式;
(2)说明按(1)中轨迹运行的火球能否点燃目标C。
(3)菏泽市物价部门规定,该工艺品销售单价最高不能超过35元/件,那么销售单价定为多少时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大?
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