题目
题型:四川省月考题难度:来源:
(1)求该二次函数的关系式;
(2)写出该二次函数的对称轴和顶点坐标;
(3)点Q是线段AB上的动点,过点Q作QE∥AC,交BC于点E,连接CQ.当△CQE的面积最大时,求点Q的坐标;
(4)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标为(2,0).问:是否存在这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
∴c=4,
∵点A的坐标为(4,0),
∴0=16a﹣8a+4,
∴a=﹣,
∴y=﹣x2+x+4;
(2)y=﹣x2+x+4=﹣(x2﹣2x)+4,
=﹣[(x2﹣2x+1)﹣1]+4,
=﹣(x﹣1)2+5,
∴该二次函数的对称轴为:直线x=1,顶点坐标为:(1,5);
(3)∵二次函数的对称轴为:直线x=1,点A的坐标为(4,0),
∴B(﹣2,0,),AB=6,
S△ABC=×6×4=12,
设BQ=x,
∵EQ∥AC,
∴△BEQ∽△BCA,
∴()2==()2,
∴S△BEQ=×12=x2,
∴S△CQE=x×4﹣x2=﹣x2+2x,当x=﹣==3时,S△CQE面积最大,
∴Q点坐标为(1,0);
(4)存在,
在△ODF中,
①若DO=DF,∵A(4,0),D(2,0),
∴AD=OD=DF=2,
又∵在Rt△AOC中,OA=OC=4,
∴∠OAC=45°,
∴∠DFA=∠OAC=45°,
∴∠ADF=90°,此时,点F的坐标为:(2,2),
由﹣x2+x+4=2,
解得:x1=1+,x2=1﹣,
此时,点P的坐标为:P(1+,2)或P(1﹣,2);
②若FO=FD,过点F作FM⊥x轴于点M,
由等腰三角形的性质得出:OM=OD=1,
∴AM=3,
∴在等腰三角形△AMF中,MF=MA=3,
∴F(1,3),
由﹣x2+x+4=3,
解得:x1=1+,x2=1﹣,
此时,点P的坐标为:P(1+,3)或P(1﹣,3);
③若OD=OF,∵OA=OC=4,且∠AOC=90°,
∴AC=4,
∴点O到AC的距离为2,而OF=OD=2<2,
∴此时,不存在这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形.
综上所述:存在这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形,所求点P的坐标为:P(1+,2)或P(1﹣,2)或P(1+,3)或P(1﹣,3).
核心考点
试题【已知:如图,二次函数y=ax2﹣2ax+c(a≠0)的图象与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A、B,点A的坐标为(4,0).(1)求该二次函数的关系式;(2】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求二次函数的解析式;
(2)在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PD最小,求出点P的坐标;
(3)在抛物线上是否存在点Q,使△QAB与△ABC相似?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
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(1)求该同学骑自行车上学途中的速度v与时间t的函数关系式;
(2)计算该同学从家到学校的路程(提示:在OA和BC段的运动过程中的平均速度分别等于它们中点时刻的速度,路程=平均速度?时间);
(3)如图2,直线x=t(0≤t≤135),与图1的图象相交于P、Q,用字母S表示图中阴影部分面积,试求S与t的函数关系式.
(1)求点B的坐标;
(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式;
(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△BOC的周长最小?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点,且在x轴的下方,那么△PAB是否有最大面积?若有,求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积;若没有,请说明理由. (注意:本题中的结果均保留根号).
(1)求拱形抛物线的函数关系式;
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