题目

题型：湖南省中考真题难度：来源：

如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点O，矩形ABCD的顶点A，D在抛物线上，且AD平行x轴，交y轴于点F，AB的中点E在x轴上，B点的坐标为（2，1），点P（a，b）在抛物线上运动．（点P异于点O）
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点P作CB所在直线的垂线，垂足为点R，
①求证：PF=PR；
②是否存在点P，使得△PFR为等边三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
③延长PF交抛物线于另一点Q，过Q作BC所在直线的垂线，垂足为S，试判断△RSF的形状。

答案

解：（1）∵抛物线的顶点为坐标原点，
∴A、D关于抛物线的对称轴对称；
∵E是AB的中点，
∴O是矩形ABCD对角线的交点，又B（2，1）
∴A（2，﹣1）、D（﹣2，﹣1）；
由于抛物线的顶点为（0，0），可设其解析式为：y=ax²，
则有：4a=﹣1，a=﹣
∴抛物线的解析式为：y=﹣x²．
（2）①证明：由抛物线的解析式知：P（a，﹣a²），而R（a，1）、F（0，﹣1），
则：PF===a²+1，
PR==a²+1．
∴PF=PR．
②由①得：RF=；若△PFR为等边三角形，
则RF=PF=PR，得：=a²+1，
即：a⁴﹣a²﹣3=0，得：a²=﹣4（舍去），a²=12；
∴a=±2，﹣a²=﹣3；
∴存在符合条件的P点，坐标为（2，﹣3）、（﹣2，3）．
③同①可证得：QF=QS；在等腰△SQF中，∠1=（180°﹣∠SQF）；
同理，在等腰RPF中，∠2=（180°﹣∠RPF）；
∵QS⊥BC、PR⊥BC，
∴QS∥PR，∠SQP+∠RPF=180°
∴∠1+∠2=（360°﹣∠SQF﹣∠RPF）=90°
∴∠SFR=180°﹣∠1﹣∠2=90°，即△SFR是直角三角形．