题目

题型：中考真题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+42 交x 轴于点A ，交直线y=x 于点B ，抛物线y=ax²-2x+c 分别交线段AB 、OB 于点C 、D ，点C 和点D 的横坐标分别为16 和4 ，点P 在这条抛物线上。
（1）求点C、D的纵坐标；
（2）求a、c的值；
（3）若Q为线段OB上一点，P、Q两点的纵坐标都为5，求线段PQ的长；
（4）若Q为线段OB 或线段AB上一点，PQ⊥x轴，设P、Q两点间的距离为d（d ＞0 ），点Q的横坐标为m，直接写出d随m 的增大而减小时m的取值范围。[ 参考公式：二次函数y=ax²+bx+c （a ≠0 ）图象的顶点坐标为]

答案

解：（1 ）∵点C 在直线AB：y=-2x+42 上，且C 点的横坐标为16 ，
∴y=-2 ×16+42=10 ，即点C 的纵坐标为10 ；
∵D 点在直线OB ：y=x 上，且D 点的横坐标为4 ，
∴点D 的纵坐标为4 ；
（2）由（1 ）知点C 的坐标为（16 ，10 ），点D 的坐标为（4 ，4 ），
∵抛物线y=ax²-2x+c 经过C 、D 两点，
∴，
解得：a=，c=10 ，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x+10 ；
（3）∵Q 为线段OB 上一点，纵坐标为5 ，
∴P 点的横坐标也为5 ，
∵点Q 在抛物线上，纵坐标为5 ，
∴x²-2x+10=5 ，
解得x₁=8+2，x₂=8-2，
当点Q 的坐标为（8+2，5 ），点P 的坐标为（5 ，5 ），线段PQ 的长为2+3 ，
当点Q 的坐标为（8-2，5 ），点P 的坐标为（5，5），线段PQ 的长为2-3，
所以线段PQ 的长为2+3 或2-3；
（4 ）根据题干条件：PQ ⊥x 轴，可知P 、Q 两点的横坐标相同，抛物线y=x²-2x+10=（x-8 ）²+2 的顶点坐标为（8 ，2 ），
联立 
解得点B 的坐标为（14 ，14 ），
①当点Q 为线段OB 上时，如图所示，当0 ≤m ＜4 或12 ≤m ≤14 时，d 随m 的增大而减小，
②当点Q 为线段AB 上时，如图所示，当14 ≤m ＜16 时，d 随m 的增大而减小，
综上所述，当0 ≤m ＜4 或12 ≤m ＜16 时，d 随m 的增大而减小。