题目

题型：中考真题难度：来源：

如图，已知二次函数L₁：y=x²-4x+3 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C。
（1）写出A 、B 两点的坐标；
（2）二次函数L₂：y=kx²-4kx+3k （k ≠0 ），顶点为P。
①直接写出二次函数L₂与二次函数L₁有关图象的两条相同的性质；
②是否存在实数k ，使△ABP 为等边三角形？如果存在，请求出k 的值；如不存在，请说明理由；
③若直线y=8k 与抛物线L₂ 交于E 、F 两点，问线段EF 的长度是否会发生变化？如果不会，请求出EF 的长度；如果会，请说明理由。

答案

解：（1 ）当y=0 时，x²-4x+3=0 ，
∴x₁=1 ，x₂=3 ；
即：A （1 ，0 ），B （3 ，0 ）；
（2）①二次函数L₂ 与L₁有关图象的两条相同的性质：
（Ⅰ）对称轴都为直线x=2或顶点的横坐标为2 ；
（Ⅱ）都经过A （1 ，0 ），B （3 ，0 ）两点；
②存在实数k ，使△ABP 为等边三角形，
∵y=kx²-4kx+3k=k （x-2 ）²-k ，
∴顶点P （2，-k），
∵A （1 ，0 ），B （3 ，0 ），
∴AB=2 要使△ABP 为等边三角形，必满足|-k|=，
∴k=±；
③线段EF 的长度不会发生变化，
∵直线y=8k 与抛物线L₂交于E 、F 两点，
∴kx²-4kx+3k=8k，
∵k ≠0 ，
∴x²-4x+3=8 ，
∴x₁=-1 ，x₂=5，
∴EF=x₂-x₁=6，
∴线段EF 的长度不会发生变化。