题目

题型：北京市期末题难度：来源：

在等腰梯形ABCD中，已知AB=6，BC=，∠A=45°，以AB所在直线为x轴，A为坐标原点建立直角坐标系，将等腰梯形ABCD饶A点按顺时针方向旋转90°得到等腰梯形OEFG（O﹑E﹑F﹑G分别是A﹑B﹑C﹑D旋转后的对应点）（图1）（1）写出C﹑F两点的坐标；
（2）等腰梯形ABCD沿x轴的负半轴平行移动，设移动后的OA=x（图2），等腰梯形ABCD与等腰梯形OEFG重叠部分的面积为y，当点D移动到等腰梯形OEFG的内部时，求y与x之间的关系式；
（3）线段DC上是否存在点P，使EFP为等腰三角形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）C的坐标是（4，2），F的坐标是（﹣2，4）；
（2）过D作DM⊥AB于M，过C作CN⊥AB于N，
图（1）中，在直角三角形AMD中，AD=2，∠DOM=45°，
因此DM=AM=2，
因此D点的坐标是（2，2），
图（2），当OA=x时，设DC交y轴于H，AD交GO于Q，
那么DH=x﹣2，
所以梯形AODH的面积=×（DH+OA）×DM=2x﹣2，
△AQO中，根据旋转的性质及旋转角度为90度，
可得：∠AQD=90°，
又因为∠QAM=45°，
因此AQ=QO=x，
所以△AQO的面积=×AQ×OQ=x²
因此重合部分的面积y=S_梯形AODH﹣S_△AQO=2x﹣2﹣x²
即：y=﹣x²+2x﹣2（2＜x＜4）；
（3）由于P点在DC线上，设点P的坐标为（m，2），
根据旋转的性质以及图（1）中，B、C两点的坐标可知：E点的坐标是（0，6），F点的坐标是（﹣2，4），
①当以E为顶点，EF、EP为腰时，EF=EP=2，
因此（2）²=m²+（2﹣6）²，
即m²+16=8，此方程无解，
因此不存在这种情况；
②当以F为顶点，EF、FP为腰时，EF=FP=2，
因此（2）²=（m+2）²+（2﹣4）²，
即m（m+4）=0，m=﹣4，m=0，
当m=﹣4时，P点坐标为（﹣4，2），
PE==4=2EF，
因此P、E、F在一条直线上构不成三角形，
因此此时P点的坐标应该是（0，2）；
③当以P为顶点，FP、EP为腰，EP=PF，
因此m²+（2﹣6）²=（m+2）²+（2﹣4）²，
即m=2，那么此时P的坐标为（2，2），
综上所述，存在符合条件的P点且坐标为（2，2）或（0，2）。