题目

题型：北京市期末题难度：来源：

抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）经过点A（），B（）与y轴交于点C，设抛物线的顶点为D，在△BCD中，边CD的高为h。
（1）若c=ka，求系数k的值；
（2）当∠ACB=90°，求a及h的值；
（3）当∠ACB≥90°时，经过探究、猜想请你直接写出h的取值范围。（不要求书写探究、猜想的过程）

答案

解：（1）因为A（﹣3，0），B（，0）
在抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）上，
所以有，y=a（x+3）（x﹣）=a（），
又因为c=﹣9a
所以k=﹣9；
（2）由于∠ACB=90°时，
∵OC⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=90°，可得∠ACO=∠OBC，
∴△AOC∽△COB，
∴，
即OC²=OA·OB=3×=9，
∴OC=3，
∵C（0﹣3），
由（1）知﹣9a，
∴a=，
过D作DE⊥OC交y轴于点E，延长DC交x轴于点H，过B作BF⊥CH于点F，
即BF是边DC的高h，
因为D是抛物线的顶点，
所以D（﹣），
故OE=4，
又OC=3，可得CE=1，DE=，
易证△HCO∽△DCE，有===3，
故OH=3DE=3，BH=OH﹣OB=2，
由于∠COH=90°，OC=3，OH=3，
由勾股定理知CH=6，有∠OHC=30°，
又因为在Rt△BHF中，BH=2，
所以BF=，即h=；
（3）当∠ACB≥90°时，猜想0＜h≤。