题目

题型：北京市期末题难度：来源：

已知：抛物线y=﹣x²﹣2（a﹣1）x﹣（a²﹣2a）与x轴交于点A（x₁，0）、B（x₂，0），且x₁＜1＜x₂。
（1）求A、B两点的坐标（用a表示）；
（2）设抛物线的顶点为C，求△ABC的面积；
（3）若a是整数，P为线段AB上的一个动点（P点与A、B两点不重合），在x轴上方作等边△APM和等边△BPN，记线段MN的中点为Q，求抛物线的解析式及线段PQ的长的取值范围。

答案

解：（1）∵拋物线与x轴交于点A（x₁，0）、B（x₂，0），
∴x₁、x₂是关于x的方程﹣的解；
方程可化简为x²+2（a﹣1）x+（a²﹣2a）=0；
解方程，得x=﹣a或x=﹣a+2；
∵x₁＜x₂，﹣a＜﹣a+2，
∴x₁=﹣a，x₂=﹣a+2
∴A、B两点的坐标分别为A（﹣a，0），B（﹣a+2，0）；
（2）∵AB=2，顶点C的纵坐标为，
∴△ABC的面积等于；
（3）∵x₁＜1＜x₂，
∴﹣a＜1＜﹣a+2
∴﹣1＜a＜1；
∵a是整数，
∴a=0，即所求拋物线的解析式为y=﹣x²+2x；
此时顶点C的坐标为C（1，）如图，作CD⊥AB于D，连接CQ，则AD=1，CD=，tan∠BAC=，
∴∠BAC=60°由拋物线的对称性可知△ABC是等边三角形；
由△APM和△BPN是等边三角形，线段MN的中点为Q可得，点M、N分别在AC和BC边上，四边形PMCN的平行四边形，C、Q、P三点共线，且PQ=PC；
∵点P线段AB上运动的过程中，P与A、B两点不重合，DC≤PC＜AC，DC=，AC=2，
∴≤PQ＜1。