题目

题型：山东省期末题难度：来源：

如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点c（0，3）。
（1）求此抛物线所对应函数的表达式；
（2）若抛物线的顶点为D，在其对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PCD为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）抛物线与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0），
设表达式为y=a（x+1）（x﹣3），
又点（0，3）在抛物线上，则3=a×1×（﹣3），
∴a=﹣1
故所求的表达式为：y=﹣（x+1）（x﹣3），
即y=﹣x²+2x+3；
（2）存在，
由y=﹣x²+2x+3=﹣（x﹣1）2+4知，
D点坐标为（1，4），对称轴为x=1，
①若以CD为底边，则PC=PD
设P点坐标为（a，b），
由勾股定理，得：a²+（3﹣b）²=（a﹣1）²+（4﹣b）²，
即b=4﹣a．     
又点P（a，b）在抛物线上，b=﹣a²+2a+3，
则 4﹣a=﹣a²+2a+3
整理，得a²﹣3a+1=0，
解，得（不合题意，舍去）
∴，
则，
P（）；
②若以CD为一腰，因点P在对称轴右侧的抛物线上，
由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x=1对称，此时点P坐标为（2，3），
综上所述，符合条件的点P坐标为（）或（2，3）。