题目
题型:不详难度:来源:
(1)求p、q的值.
(2)在题中的抛物线上是否存在这样的点Q,使得四边形PAQD恰好为平行四边形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)连接PA、AC.问:在直线PC上,是否存在这样点E(不与点C重合),使得以P、A、E为顶点的三角形与△PAC相似?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
当x=0时,y=q.即:C点的坐标为(0,q).
因为:OA=OC,D点与A点关于y轴对称.
所以:A点的坐标为(q,0);D点的坐标为(-q,0).
将A(q,0)代入y=x2+px+q中得:0=q2+pq+q
即:q(q+p+1)=0
所以:q=0,(不符合题意,舍去.)
q+p=-1 ①
现在求点P的坐标,即抛物线y=x2+px+q顶点的坐标:
横坐标:-
p |
2 |
4q-p2 |
4 |
设直线CD的方程为y=kx+b
因为直线CD过C(0,q)、D(-q,0)两点,所以有方程组
q=b,0=-qk+b.
解得:k=1,b=q.
所以直线CD的解析式为:y=x+q.
因为点P在直线CD上,
所以
4q-p2 |
4 |
p |
2 |
解得:p=0(不符合题意,舍去)
p=2 ②
又已经求得的①、②两等式得:p=2,q=-3.
因此;p、q的值分别为 2和-3.
(2)∵p=2,q=-3.
∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3,
A、D、C、P四点的坐标分别为(-3,0)、(3,0)、(0,-3)、(-1,-4).
直线CD的方程式为y=x-3,
设:过A点与直线CD平行的直线AQ的方程为:
y=x+b(因两直线平行,所以一次项系数相等)
因为点A(-3,0)在直线AQ上,将其代入y=x+b中得:0=-3+b,解得:b=3
所以:直线AQ的方程为:y=x+3
下面求直线AQ(y=x+3)与抛物线y=x2+2x-3的交点Q的坐标:
解方程组y=x2+2x-3,y=x+3.得x1=2,y1=5;x2=-3,y2=0.
即:两交点为A(-3,0);Q(2,5).
下面再求A、Q两点距离和P、D两点距离:从图形可知
|AQ|=5
2 |
2 |
所以|AQ|≠|PD|
这说明AQ与PD不相等,所以在抛物线上不存在满足四边形APDQ是平行四边形的Q点.
(3)存在E点,且E点坐标为(9,6).
具体求解过程如下:
设E点是直线PC上的点,且满足AE垂直AP
求直线AP的方程,设直线AP的方程为y=kx+b
因为A(-3,0),P(-1,-4)两点在直线AP上,所以有方程组
0=-3k+b,-4=-k+b.解得:k=-2,b=-6.
所以直线AP的方程式为:y=-2x-6
因为直线AE垂直直线AC,所以两直线一次项系数之积等于-1
所以,设直线AE方程式为y=
1 |
2 |
A(-3,0)点在直线AE上,所以b=
3 |
2 |
所以直线AE的方程式为y=
1 |
2 |
3 |
2 |
直线AE与直线CD相交于E点,解两直线方程组成的方程组得:x=9,y=6.
即E点的坐标为(9,6).
在三角形ACD中,因为OA=OD=OC,AD垂直CO,
所以∠ACD是直角,
在直角三角形APE中,AC是斜边PE上的高,
所以△APC∽△EPA.
核心考点
试题【已知,如图,抛物线y=x2+px+q与x轴相交于A、B两点,与y轴交于点C,且OA≠OB,OA=OC,设抛物线的顶点为点P,直线PC与x轴的交点D恰好与点A关于】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
5 |
2 |
(1)求该二次函数的解析式,并用列表、描点画出它的图象;
(2)若该图象与x轴交于A、B两点,在对称轴右侧的图象上存在点C,使得△ABC的面积等于12,求出C点的坐标.
(1)现要在此土地上划出一块矩形土地NPME作为安置区,且点P在线段BC上,若设PM的长为x米,矩形NPME的面积为y平方米,求y与x的函数关系式,并求当x为何值时,安置区的面积y最大,最大面积为多少?
(2)因三峡库区移民的需要,现要在此最大面积的安置区内安置30户移民农户,每户建房占地100平方米,政府给予每户4万元补助,安置区内除建房外的其余部分每平方米政府投入100元作为基础建设费,在五边形ABCDE这块土地上,除安置区外的部分每平方米政府投入200元作为设施施工费.为减轻政府的财政压力,决定鼓励一批非安置户到此安置区内建房,每户建房占地120平方米,但每户非安置户应向政府交纳土地使用费3万元.为保护环境,建房总面积不得超过安置区面积的50%.若除非安置户交纳的土地使用费外,政府另外投入资金150万元,请问能否将这30户移民农户全部安置?并说明理由.
(1)直接写出抛物线的对称轴,及抛物线与x轴的另一个交点A的坐标;
(2)以AD为直径的圆经过点C.
①求抛物线的解析式;
②点E在抛物线的对称轴上,点F在抛物线上,且以B,A,F,E四点为顶点的四边形为平行四边形,求点F的坐标.
(1)求直线BC与抛物线的解析式;
(2)若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点,过点M作MN∥y轴交直线BC于点N,求MN的最大值;
(3)在(2)的条件下,MN取得最大值时,若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点,以BC为边作平行四边形CBPQ,设平行四边形CBPQ的面积为S1,△ABN的面积为S2,且S1=6S2,求点P的坐标.
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