题目

题型：不详难度：来源：

如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，A在B的左侧，A坐标为（-1，0）与y轴交于点C（0，3）△ABC的面积为6．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴与直线BC相交于点M，点N为x轴上一点，当以M，N，B为顶点的三角形与△ABC相似时，请你求出BN的长度；
（3）设抛物线的顶点为D在线段BC上方的抛物线上是否存在点P使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

（1）∵C（0，3），
∴OC=3，
又∵S_△ABC=

1

2

AB•OC=6，
∴AB=4；
∵A为（-1，0），
∴B为（3，0），
设抛物线解析式y=a（x+1）（x-3）
将C（0，3）代入求得a=-1，
∴y=-x²+2x+3．

（2）抛物线的对称轴为直线x=-

b

2a

=1，
由B（3，0），C（0，3），得直线BC解析式为：y=-x+3；
∵对称轴x=1与直线BC：y=-x+3相交于点M，
∴M为（1，2）；
可直接设BN的长为未知数．
设N（t，0），当△MNB∽△ACB时，
∴

BN

BC

=

MB

AB

即

3-t

3 2

=

2 2

4

即t=0，
∵△MNB∽△CAB时，∴

BN

AB

=

MB

CB

⇒

3-t

4

=

2 2

3 2

得t=

1

3

，
所以BN的长为3或

8

3

．

（3）存在．由y=-x²+2x+3得，抛物线的对称轴为直线x=-

b

2a

=1，顶点D为（1，4）；
①当PD=PC时，设P点坐标为（x，y）根据勾股定理，
得x²+（3-y）²=（x-1）²+（4-y）²即y=4-x，
又P点（x，y）在抛物线上，4-x=-x²+2x+3，
即x²-3x+1=0，
解得x=

3± 5

2

；
∴y=4-x=

5- 5

2

或

5+ 5

2

即点P坐标为（

3+ 5

2

，

5- 5

2

）或（

3- 5

2

，

5+ 5

2

）；
②当CD=PD时，即P，C关于对称轴对称，
此时P的纵坐标为3，即3=-x²+2x+3，
解得x₁=2，x₂=0（舍去），
∴P为（2，3）；
③当PC=CD时，P只能在C点左边的抛物线上，所以不考虑；
∴符合条件的点P坐标为（

3- 5

2

，

5+ 5

2

），（

3+ 5

2

，

5- 5

2

）或（2，3）．