题目

题型：不详难度：来源：

如图，已知抛物线y=mx²+（3-m）x+m²+m交x轴于C（x₁，0），D（x₂，0）两点，（x₁＜x₂）且（x₁+1）（x₂+1）=5
（1）试确定m的值；
（2）过点A（-1，-5）和抛物线的顶点M的直线交x轴于点B，求B点的坐标；
（3）设点P（a，b）是抛物线上点C到点M之间的一个动点（含C、M点），△POQ是以PO为腰、底边OQ在x轴上的等腰三角形，过点Q作x轴的垂线交直线AM于点R，连接PR．设△PQR的面积为S，求S与a之间的函数关系式．

答案

（1）因为抛物线y=mx²+（3-m）x+m²+m交x轴于C（x₁，0），D（x₂，0）两点（x₁＜x₂）且（x₁+1）（x₂+1）=5，
∴m≠0
∵x1+x2=

m-3

m

，x1x2=

m2+m

m

，且△=（3-m）²-4m（m²+m）＞0，
又∵x₁x₂+x₁+x₂+1=5，
∴

m2+m

m

+

m-3

m

+1=5，
解得m=-1，或m=3，而m=3使△＜0，不合题意，故舍去，
∴m=-1；

（2）由（1）知抛物线的解析式为y=-x²+4x，
∴顶点M的坐标为（2，4）．如图，
设直线AM的解析式为y=kx+b，
∵A（-1，-5），
则有

-5=-k+b 4=2k+b

，
解得

k=3 b=-2

，
∴y=3x-2，
当y=0时，x=

2

3

，
∴B点的坐标为（

2

3

，0）；

（3）依题意，点P（a，b）是抛物线上点C到点M之间的一个动点，
∴0＜a≤2，
∴Q点坐标为（2a，0），
由（2）知直线AM为y=3x-2，
∴当x=2a时，y=6a-2，
∴点R的坐标为（2a，6a-2），
过点P作PN⊥RQ于点N，
∵RQ=|6a-2|，PN=|a|，
∴S=

1

2

RQ•PN=

1

2

|6a-2|•|a|，
当0＜a＜

1

3

时，S=

1

2

(2-6a)•a=-3a²+a，
当a=

1

3

时，△PQR不存在；
当

1

3

＜a≤2时，S=

1

2

(6a-2)•a=3a²-a．