已知：0＜a＜b＜c，实数x、y满足2x+2y=a+b+c，2xy=ac，且x＜y．求证：0＜x＜a，b＜y＜c． - 初中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知：0＜a＜b＜c，实数x、y满足2x+2y=a+b+c，2xy=ac，且x＜y．求证：0＜x＜a，b＜y＜c．

答案

证明：∵2x+2y=a+b+c，2xy=ac，
∴x+y=

a+b+c

，xy=

，
∴x，y可看作方程t²-

a+b+c

=0的两实根，
设函数S=t²-

（a+b+c）t+

ac，
①当t=0时，S=

ac＞0；
②当t=a时，S=a²-

a+b+c

•a+

a（a-b），
而0＜a＜b，
∴S=

a（a-b）＜0；
③当t=b时，S=b²-

（a+b+c）b+

ac=

（b-a）（b-c），
∵0＜a＜b＜c，
∴S=

（b-a）（b-c）＜0，
④当t=c时，S=

c（c-b）＞0，
可知函数S=t²-

（a+b+c）t+

ac的图象与t轴的两个交点分别在0，a和b，c之间，如图，
∴方程t²-

a+b+c

=0的两根分别在0，a之间的和b，c之间，
即0＜x＜a，b＜y＜c．

核心考点

试题【已知：0＜a＜b＜c，实数x、y满足2x+2y=a+b+c，2xy=ac，且x＜y．求证：0＜x＜a，b＜y＜c．】；主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]

举一反三

如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴相交于点C．连接AC，BC，A（-3，0），C（0，

），且当x=-4和x=2时二次函数的函数值y相等．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．
①当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；
②抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以B、N、Q为顶点的三角形与△A0C相似？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
③当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMN沿MN翻折，得到△PMN．并记△PMN与△AOC的重叠部分的面积为S．求S与t的函数关系式．

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如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，已知点A的坐标为（2，2），点B、C在y轴上，BC=8，AB=AC，直线AB与x轴相交于点D．
（1）求点C、D的坐标；
（2）求图象经过A、C、D三点的二次函数解析式．

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如图，直线y=

x+b经过点B（-

，2），且与x轴交于点A．将抛物线y=

x2沿x轴作左右平移，记平移后的抛物线为C，其顶点为P．
（1）求∠BAO的度数；
（2）直线AB交抛物线y=

x2的右侧于点D，问点B是AD中点吗？试说明理由；
（3）抛物线C与y轴交于点E，与直线AB交于两点，其中一个交点为F．当线段EF∥x轴时，求平移后的抛物线C对应的函数关系式．

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如图已知二次函数图象的顶点为原点，直线y=

x+4的图象与该二次函数的图象交于A点（8，8），直线与x轴的交点为C，与y轴的交点为B．
（1）求这个二次函数的解析式与B点坐标；
（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A，B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于D点，与x轴交于点E．设线段PD的长为h，点P的横坐标为t，求h与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，在线段AB上是否存在点P，使得以点P、D、B为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

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已知：函数y=-

x²+x+a的图象的最高点在x轴上．
（1）求a；
（2）如图所示，设二次函数y=-

x²+x+a图象与y轴的交点为A，顶点为B，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；
（3）在（2）中，若圆与x轴另一交点C关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线y=-

x²+x+a上？若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由．

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