题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，1）、B（3，1）．动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ垂直于直线OA，垂足为Q．设P点移动的时间为t秒（0＜t＜4），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．
（1）求经过O、A、B三点的抛物线解析式；
（2）求S与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

答案

（1）设抛物线解析式为y=ax²+bx（a≠0），将A．B点坐标代入得出：

1=a+b 1=9a+3b

，
解得：

a=- 1 3 b= 4 3

，
故经过O、A、B三点的抛物线解析式为：y=-

1

3

x²+

4

3

x．

（2）①当0＜t≤2时，重叠部分为△OPQ，过点A作AD⊥x轴于点D，
如图1．
在Rt△AOD中，AD=OD=1，∠AOD=45°．
在Rt△OPQ中，OP=t，∠OPQ=∠QOP=45°．
∴OQ=PQ=

2

2

t．
∴S=S_△OPQ=

1

2

OQ•PQ=

1

2

×

2

2

t×

2

2

t=

1

4

t²（0＜t≤2）；
②当2＜t≤3时，设PQ交AB于点E，重叠部分为梯形AOPE，
作EF⊥x轴于点F，如图2．∵∠OPQ=∠QOP=45°
∴四边形AOPE是等腰梯形∴AE=DF=t-2．
∴S=S_梯形AOPE=

1

2

（AE+OP）•AD=

1

2

（t-2+t）×1
=t-1（2＜t≤3）；
③当3＜t＜4时，设PQ交AB于点E，交BC于点F，
重叠部分为五边形AOCFE，如图3．
∵B（3，1），OP=t，∴PC=CF=t-3．
∵△PFC和△BEF都是等腰直角三角形
∴BE=BF=1-（t-3）=4-t
∴S=S_{五边形AOCFE}=S_梯形OABC-S_△BEF，
=

1

2

（2+3）×1-

1

2

（4-t）²
=-

1

2

t²+4t-

11

2

（3＜t＜4）；

（3）连接QC，OB，
∵AB∥OC，
∴∠BAO+∠AOC=180°，
∵∠AOC=45°，∠OQP=90°，
∴∠QPO=45°，
∵∠QPO+∠QPC=180°，
∴∠BAO=∠QPC，
只要

PC

PQ

=

AO

AB

或者

PC

PQ

=

AB

AO

即可得出以C、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似，
得出：3-t=

2

2

×

2

2

t或3-t=

2

×

2

2

t
解得：t=2或t=

3

2

；

（4）存在，t₁=1，t₂=2．
将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，此时Q（t+

t

2

，

t

2

），O（t，t）
①当点Q在抛物线上时，

t

2

=-

1

3

×（t+

t

2

）²+

4

3

×（t+

t

2

），
解得t=2；
②当点O在抛物线上时，t=-

1

3

t²+

4

3

t，
解得：t=1．