题目

题型：不详难度：来源：

已知，如图1，过点E（0，-1）作平行于x轴的直线l，抛物线y=

1

4

x²上的两点A、B的横坐标分别为-1和4，直线AB交y轴于点F，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，连接CF、DF．
（1）求点A、B、F的坐标；
（2）求证：CF⊥DF；
（3）点P是抛物线y=

1

4

x²对称轴右侧图象上的一动点，过点P作PQ⊥PO交x轴于点Q，是否存在点P使得△OPQ与△CDF相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

（1）方法一：如图1，当x=-1时，y=

1

4

；当x=4时，y=4
∴A（-1，

1

4

）（1分）
B（4，4）（2分）
设直线AB的解析式为y=kx+b（3分）
则

-k+b= 1 4 4k+b=4

解得

k= 3 4 b=1

∴直线AB的解析式为y=

3

4

x+1（4分）
当x=0时，y=1∴F（0，1）（5分）
方法二：求A、B两点坐标同方法一，如图2，作FG⊥BD，AH⊥BD，垂足分别为G、H，交y轴于点N，则四边FOMG和四边形NOMH均为矩形，设FO=x（3分）
∵△BGF∽△BHA
∴

BG

BH

=

FG

AH

∴

4-x

4- 1 4

=

4

5

（4分）
解得x=1
∴F（0，1）（5分）

（2）证明：方法一：在Rt△CEF中，CE=1，EF=2，
根据勾股定理得：CF²=CE²+EF²=1²+2²=5，
∴CF=

5

（6分）
在Rt△DEF中，DE=4，EF=2
∴DF²=DE²+EF²=4²+2²=20
∴DF=2

5

由（1）得C（-1，-1），D（4，-1）
∴CD=5
∴CD²=5²=25
∴CF²+DF²=CD²（7分）
∴∠CFD=90°
∴CF⊥DF（8分）
方法二：由（1）知AF=

1+( 3 4 )2

=

5

4

，AC=

5

4

∴AF=AC（6分）
同理：BF=BD
∴∠ACF=∠AFC
∵AC∥EF
∴∠ACF=∠CFO
∴∠AFC=∠CFO（7分）
同理：∠BFD=∠OFD
∴∠CFD=∠OFC+∠OFD=90°
即CF⊥DF（8分）

（3）存在．
如图3，作PM⊥x轴，垂足为点M（9分）
又∵PQ⊥OP
∴Rt△OPM∽Rt△OQP
∴

PM

PQ

=

OM

OP

∴

PQ

OP

=

PM

OM

（10分）
设P（x，

1

4

x²）（x＞0），
则PM=

1

4

x²，OM=x
①当Rt△QPO∽Rt△CFD时，

PQ

OP

=

CF

DF

=

5

2 5

=

1

2

（11分）
∴

PM

OM

=

1 4 x2

x

=

1

2

解得x=2∴P₁（2，1）（12分）
②当Rt△OPQ∽Rt△CFD时，

PQ

OP

=

DF

CF

=

2 5

5

=2（13分）
∴

PM

OM

=

1 4 x2

x

=2
解得x=8
∴P₂（8，16）
综上，存在点P₁（2，1）、P₂（8，16）使得△OPQ与△CDF相似．（14分）