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题目
题型:不详难度:来源:
已知抛物线y=


3
3
x2-
4


3
3
x+


3
与y轴交于点A,与x轴交于B、C两点(C在B的左边).
(1)过A、O、B三点作⊙M,求⊙M的半径;
(2)点P为弧OAB上的动点,当点P运动到何位置时△OPB的面积最大?求出此时点P的坐标及△OPB的最大面积.
答案
(1)∵抛物线y=


3
3
x2-
4


3
3
x+


3
与y轴交于点A,与x轴交于B、C两点(C在B的左边),
∴y=0时,0=


3
3
x2-
4


3
3
x+


3

整理得出:x2-4x+3=0,
解得:x1=1,x2=3,
当x=0,则y=


3

由题意可得:A(0,


3
),B(3,0),C(1,0),
∴OA=


3
,OB=3,
连接AB,∵∠AOB=90°,
∴AB为⊙M的直径,
∴AB=2


3

∴⊙M的半径为


3


(2)在△AOB中,∵OA=


3
,OB=3,∠AOB=90°,
∴tan∠OAB=
3


3
=


3

∴∠OAB=60°,
∵点P为弧OAB上的动点,
∴∠OPB=60°,
∵OB=3是定值,要使△OPB面积最大,只要使OB边上的高最大,
即点P到OB边的距离最大,
∴点P为为弧OAB的中点,此时为△OPB为等边三角形,
且边长为3,
过点P作PT⊥OB于点T,
根据题意得出:OT=
3
2
,PT=
3


3
2

∴P(
3
2
3


3
2
),△OPB的最大面积为:
1
2
×3×
3


3
2
=
9


3
4
核心考点
试题【已知抛物线y=33x2-433x+3与y轴交于点A,与x轴交于B、C两点(C在B的左边).(1)过A、O、B三点作⊙M,求⊙M的半径;(2)点P为弧OAB上的动】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c经过直线y=-x+3与坐标轴的两个交点A、B,此抛物线与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)点M为抛物线上的一个动点,求使得△ABM的面积与△ABD的面积相等的点M的坐标.
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如图,在直角坐标系中,点O为原点,直线y=kx+b与x轴交于点A(3,0),与y轴的正半轴交于点B,tan∠OAB=


3

(1)求这直线的解析式;
(2)将△OAB绕点A顺时针旋转60°后,点B落到点C的位置,求以点C为顶点且经过点A的抛物线的解析式;
(3)设(2)中的抛物线与x轴的另一个交点为点D,与y轴的交点为E.试判断△ODE是否与△OAB相似?如果认为相似,请加以证明;如果认为不相似,也请说明理由.
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如图,在平面直角坐标系中,以点0′(-2,-3)为圆心,5为半径的圆交x轴于A、B两点,过点B作⊙O′的切线,交y轴于点C,过点0′作x轴的垂线MN,垂足为D,一条抛物线(对称轴与y轴平行)经过A、B两点,且顶点在直线BC上.
(1)求直线BC的解析式;
(2)求抛物线的解析式;
(3)设抛物线与y轴交于点P,在抛物线上是否存在一点Q,使四边形DBPQ为平行四边形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图,在所给出的平面直角坐标系中,当水位在AB位置时,水面宽度为10m,此时水面到桥拱的距离是4m,则抛物线的函数关系式为(  )
A.y=
25
4
x2
B.y=-
25
4
x2
C.y=-
4
25
x2
D.y=
4
25
x2

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如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形ABCD的边AB在x轴上,且AB=3,BC=2


3
,直线y=


3
x-2


3
经过点C,交y轴于点G.
(1)点C、D的坐标分别是C______,D______;
(2)求顶点在直线y=


3
x-2


3
上且经过点C、D的抛物线的解析式;
(3)将(2)中的抛物线沿直线y=


3
x-2


3
平移,平移后的抛物线交y轴于点F,顶点为点E(顶点在y轴右侧).平移后是否存在这样的抛物线,使△EFG为等腰三角形?若存在,请求出此时抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.
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