题目

题型：不详难度：来源：

已知，二次函数y=mx²+3（m-

1

4

）x+4（m＜0）与x轴交于A、B两点，（A在B的左边），与y轴交于点C，且∠ACB=90度．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）矩形DEFG的一条边DG在AB上，E、F分别在BC、AC上，设OD=x，矩形DEFG的面积为S，求S关于x的函数解析式；
（3）将（1）中所得抛物线向左平移2个单位后，与x轴交于A′、B′两点（A′在B′的左边），矩形D′E′F′G′的一条边D′G′在A′B′上（G′在D′的左边），E′、F′分别在抛物线上，矩形D′E′F′G′的周长是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

答案

（1）∵CO²=AO•OB
m=-

1

4

y=-

1

4

x²-

3

2

x+4

（2）A（-8，0），B（2，0）
OD=x
ED=4-2x，EF=5x
S=ED•EF=-10x²+20x（0＜x＜2）

（3）平移后的抛物线y′=-

1

4

x²-

5

2

∴A′（-10，0）B′（0，0）
设D′（x，0），则G′（-10-x，0）
E′（x，-

1

4

x²-

5

2

x），
F′（-10-x，-

1

4

x²-

5

2

x）
C_{矩形D"E"F"G′}=2（GD+DE）
=2[10+2x+（-

1

4

x²-

5

2

x）]
=-

1

2

x²-x+20（-5＜x＜0）
当x=-1时，C矩形D′E′F′G′最大值=20.5．