题目

题型：不详难度：来源：

已知矩形ABCD中，AB=4，对角线BD=2AB，且BE平分∠ABD，点P从点D以每秒2个单位沿DB方向向点B运动，点Q从点B以每秒1个单位沿BA方向向点A运动，设运动时间为t秒，△BPQ的面积为S．
（1）若t=2时，求证：△DBA∽△PBQ；
（2）求S关于t的函数关系式及S的最大值；
（3）在运动的过程中，△BQM能否成为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

答案

（1）∵t=2，
∴BQ=2，PB=4，
∴

BQ

BA

=

BP

BD

，∠PBQ=∠PBQ，
∴△PBQ∽△DBA；

（2）过点Q作△PBQ的高h，
则S_△PBQ=

1

2

PB•h=-

3

2

t²+2

3

t=-

3

2

（t-2）²+2

3

，
∴当t=2时，Smax=2

3

；

（3）分三种情况讨论：
①当∠QBM=∠BMQ=30°时，有：
∠AQM=60°=∠ABD，
∴PQ∥BD，
∴与题意矛盾，不存在；
②当∠QBM=∠BQM=30°时，如图，则
BQ=2PB即2（8-2t）=t，得t=

16

5

≤4；
③当∠BQM=∠BMQ=75°时，如图，
作QF⊥BP，则：PB=BF+PF=BF+QF=

1

2

t+

3

2

t=8-2t，
得：t=

16

3 +5

=

40-8 3

11

≤4，
∴当t=

16

5

或t=

40-8 3

11

时，△BQM成为等腰三角形．