题目
题型:湖南省中考真题难度:来源:
(1)若测得 OA=OB=(如图1),求a的值;
(2)对同一条抛物线,孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时,过B作BF⊥x轴于点F,测得OF=1,写出此时点B的坐标,并求点A的横坐标;
(3)对该抛物线,孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现,交点A、B的连线段总经过一个固定的点,试说明理由并求出该点的坐标。
答案
解:(1)设线段AB与y轴的交点为C,由抛物线的对称性可得C为AB中点,
∵OA=OB=,∠AOB=90°,
∴AC=OC=BC=2,
∴B(2,-2)
将B(2,-2)代入抛物线y=ax2(a<0)得,a=-,
(2):过点A作AE⊥x轴于点E,
∵点B的横坐标为1,
∴B(1,-),
∴BF=
又∵∠AOB=90°,易知∠AOE=∠OBF,
又∠AEO=∠OFB=90°,
∴△AEO∽△OFB,
∴,
∴AE=2OE
设点A(-m,-m2)(m>0),则OE=m,AE=m2,
∴m2=2m,
∴m=4,即点A的横坐标为-4;
(3)设A(-m,-m2)(m>0),B(n,-n2)(n>0),
设直线AB的解析式为:y=kx+b,则
(1)×n+(2)×m得,(m+n)b=-(m2n+mn2)=-mn(m+n),
∴b=-mn
又易知△AEO∽△OFB,
∴,
∴,
∴mn=4
∴ b=-×4=-2,
由此可知不论k为何值,直线AB恒过点(0,-2)。
核心考点
试题【孔明是一个喜欢探究钻研的同学,他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2(a<0)的性质时,将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O,两直角边与该抛物】;主要考察你对二次函数的图象等知识点的理解。[详细]
举一反三
B.(2,0)
C.(-2,0)
D.(-1,0)
(1)直接写出抛物线对称轴方程;
(2)若抛物线经过原点,且△ABC为直角三角形,求a,b的值;
(3)若D为抛物线对称轴上一点,则以A,B,C,D为顶点的四边形能否为正方形?若能,请写出a,b满足的关系式;若不能,说明理由。
⑴求证:不论m为何值,该函数的图象都经过y轴上的一个定点;
⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点,求m的值。
B.y1<y2
C.y1≥ y2
D.y1≤ y2
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