题目

题型：广东省中考真题难度：来源：

如图所示，已知抛物线y=x²-4x+3与x 轴交于两点A、B，其顶点为C。
（1）对于任意实数m，点M（m，-2）是否在该抛物线上？请说明理由；
（2）求证：△ABC是等腰直角三角形；
（3）已知点D在x轴上，那么在抛物线上是否存在点P，使得以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）假如点M（m，-2）在该抛物线上，则-2=m²-4m+3，
m²-4m+5=0，
由于△=（-4）²-4×1×5=-4＜0，
此方程无实数解，
所以点M（m，-2）不会在该抛物线上；
（2）当y=0时，x²-4x+3=0，x₁=1，x₂=3，
由于点A在点B左侧，
∴A（1，0），B（3，0）
y= x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴顶点C的坐标是（2，-1），
由勾股定理得，AC=，BC=，AB=2，
∵AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是等腰直角三角形；
（3）存在这样的点P. 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，
因此连接点P与点C的线段应被x轴平分，
∴点P的纵坐标是1，
∵点P在抛物线y= x²-4x+3上，
∴当y=1时，即x²-4x+3=1，
解得x₁=2-，x₂=2+，
∴点P的坐标是（2-，1）或（2+，1）。