题目

题型：浙江省中考真题难度：来源：

已知：抛物线y=x²-2x+a（a<0）与y 轴相交于点A，顶点为M，直线分别与x轴，y轴相交于B，C两点，并且与直线AM相交于点N。
（1）填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M（ ，），N（____，____）；
（2）如图，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点D，连接CD，求a 的值和四边形ADCN的面积；
（3）在抛物线y=x²-2x+a（a<0）上是否存在一点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由。

答案

解：（1）M（1，a-1），；（2）由题意得点N与点N′关于y轴对称，
∴
将N′的坐标代入y=x²-2x+a，
得
∴a₁=0（不合题意，舍去），
∴
∴点N到y轴的距离为3，
∴，
∴直线AN′的解析式为，
它与x轴的交点为，
∴点D到y轴的距离为，
∵直线BC与y轴的交点为，
∴S_{四边形ADCN} =S_△ACN +S_△ACD=； （3）①当点P在y轴的左侧时，若四边形ACPN是平行四边形，则PN平行且等于AC，如图所示，
∴把N向上平移-2a个单位得到点P，P点坐标为，把点P的坐标代人抛物线的解析式，
得：
∴a₁=0（不合题意，舍去），
∴；
②当点P在y轴的右侧时，若四边形APCN是平行四边形，则AC与PN互相平分，如图所示，
∴OA=OC，OP=ON，
∴P与N关于原点对称
∴
∴将P点坐标代入抛物线解析式得：
∴a₁=0（不合题意，舍去），
∴
综上所述，存在这样的点或使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形。