题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分8分）
如图，已知抛物线C₁与坐标轴的交点依次是A（－4，0），B（－2，0），E（0，8）。
（1）求抛物线C₁关于原点对称的抛物线C₂的解析式；
（2）设抛物线C₁的顶点为M，抛物线C₂与x轴分别交于C、D两点（点C在点 D的左侧），顶点为N，四边形MDNA的面积为S。若点A、点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M、点N同时以每秒2个单位的速度沿竖直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止。求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；
（4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．

答案

（1）
（2）
（3）当时，。
（4）在运动过程中MDNA可以形成矩形，此时

解析

试题考查知识点：二次函数的解析式；中心对称图形；动点问题
思路分析：先求出抛物线C₁的解析式，再根据中心对称图形的特点求抛物线C₂的解析式；建立面积与时间的关系，再进行分析得出时间的变化范围；极值问题实际上是二次函数配方后的最大（小）值；根据矩形的判定方法建立关系，从而得解。
具体解答过程：
（1）、设抛物线C₁的解析式为y=ax²+bx+c
∵抛物线C₁与坐标轴的交点依次是A（－4，0），B（－2，0），E（0，8）
∴把x=-4,y=0与x=-2,y=0和x=0,y=8分别代入到解析式中，可得：
解之得：
∴抛物线C₁的解析式为y=x²+6x+8
如图所示，抛物线C₁关于原点对称的抛物线C₂的大致图像为：

与抛物线C₁的解析式为y=x²+6x+8比较可知，抛物线C₂的解析式应为为-y=（-x）²+6（-x）+8即y=-x²+6x-8
（2）、如图所示。四边形MDNA的面积为S。若点A、点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M、点N同时以每秒2个单位的速度沿竖直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止。可知A与D、M与N的运动各自具有对称性。

∵抛物线C₁与坐标轴的交点依次是A（－4，0），B（－2，0），抛物线C₁与抛物线C₂关于原点对称
∴C（2，0）；D（4，0）；N（0,1）且四边形MDNA的面积为S=2S_△AND
做NP⊥x轴，垂足为P，则NP=1。当运动时间为t时，AD=8-2t,NP=1+2t
∴四边形MDNA的面积为S=2S_△AND=2××（8-2t）（1+2t）
即S=-4t²+14t+8
很显然，当A、D两点运动至原点位置处重合，此时，t==4秒
∴自变量t的取值范围为0≤t≤4
考虑到当t=4秒时，四边形MDNA将汇集成一条线段，故t=4秒应当舍去。
综上所述，四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式为S=-4t²+14t+8，且自变量t的取值范围为0≤t＜4
（3）对于S=-4t²+14t+8，配方可得：S=-4（t-）²+
∵-4（t-）²≤0
∴当t-=0即t=时，S有最大值，且最大值为
（4）在运动过程中，四边形MDNA能形成矩形。
当运动时间为t时，AD=8-2t，而的坐标为M（-3,-1-2t），N（3,1+2t）
∴此时线段MN的长度为MN==2
根据矩形的对角线相等的性质，当MN=AD时，四边形MDNA能形成矩形。
∴2=8-2t解之得：t=±-2
当t=--2时，t＜0，不符合题意，故舍去。
∴t=-2
故知，在运动过程中，当t=--2时，四边形MDNA能形成矩形。
试题点评：这是一道关于二次函数、二元一次方程、根式方程、直角坐标系等的综合性试题。