题目

题型：不详难度：来源：

如图，已知抛物线y=x²＋bx＋c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y
轴交于点C（0，－3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．
⑴求抛物线的函数表达式；
⑵求直线BC的函数表达式；
⑶点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．
①当线段PQ=AB时，求tan∠CED的值；
②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．
温馨提示：考生可以根据第⑶问的题意，在图中补出图形，以便作答．

答案

⑴∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴
∴b=－2．
∵抛物线与y轴交于点C（0，－3），
∴c=－3，
∴抛物线的函数表达式为y=x²－2x－3．
⑵∵抛物线与x轴交于A、B两点，
当y=0时，x²－2x－3=0．
∴x₁=－1,x₂=3.
∵A点在B点左侧，
∴A（－1，0），B（3，0）
设过点B（3，0）、C（0，－3）的直线的函数表达式为y=kx＋m，
则，∴
∴直线BC的函数表达式为y=x－3．
⑶①∵AB=4，PO=AB，
∴PO=3
∵PO⊥y轴
∴PO∥x轴，则由抛物线的对称性可得点P的横坐标为，
∴P（，）

∴F（0，），
∴FC=3－OF=3－=．
∵PO垂直平分CE于点F，
∴CE=2FC=
∵点D在直线BC上，
∴当x=1时，y=－2，则D（1，－2）．
过点D作DG⊥CE于点G，
∴DG=1，CG=1，
∴GE=CE－CG=－1=．
在Rt△EGD中，tan∠CED=．
②P₁（1－，－2），P₂（1－，）．

解析

略