题目

题型：不详难度：来源：

如图10-1，已知抛物线y = 与x轴交于A、B两点，与y轴交于
点C，且OB=OC．
（1）求抛物线的函数表达式；（2分）
（2）若点P是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），分别以AP、BP为一边，在直线AB的同侧作等边三角形APM和BPN，求△PMN的最大面积，并写出此时点P的坐标；（3分）
（3）如图10-2，若抛物线的对称轴与x轴交于点D，F是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，直线FD与y轴交于点E．是否存在点F，使△DOE与△AOC相似？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（4分）
    

答案

（1）解：令x = 0得，y = 4，∴C（0，4）
∴OB=OC=4，∴B（4，0）…………………………………………1分
代入抛物线表达式得：
16a–8a + 4 = 0，解得a =
∴抛物线的函数表达式为………………………2分
（2）解：过点M作MG⊥x轴于G，过点N作NH⊥x轴于H，

设P（x，0），△PMN的面积为S，则
PG=，MG=，PH=，NH=
∴S=
=
=
= …………………………3分
=
∵，∴当x=1时，S有最大值是………………4分
∴△PMN的最大面积是，此时点P的坐标是（1，0）………………5分
（3）解：存在点F，使得△DOE与△AOC相似．有两种可能情况：
①△DOE∽△AOC；②△DOE∽△COA
由抛物线得：A（–2，0），对称轴为直线x = 1
∴OA=2，OC=4，OD=1
①若△DOE∽△AOC，则
∴，解得OE=2
∴点E的坐标是（0，2）或（0，–2）
若点E的坐标是（0，2），则直线DE为：
解方程组
得：，（不合题意，舍去）
此时满足条件的点F₁的坐标为（，）……………………6分
若点E的坐标是（0，–2），
同理可求得满足条件的点F₂的坐标为（，）…………7分
②若△DOE∽△COA，
同理也可求得满足条件的点F₃的坐标为（，）……………8分
满足条件的点F₄的坐标为（，）………………………………9分
综上所述，存在满足条件的点F，点F的坐标为：
F₁（，）、F₂（，）、F₃（，
或F₄（，）．

解析

略